|
資料來源:
Standard deviation
and standard error of the mean
Dong Kyu Lee,1 Junyong
In,2 and Sangseok
Lee3
Korean J Anesthesiol. 2015
Jun; 68(3): 220–223.
Published online
2015 May 28. doi: 10.4097/kjae.2015.68.3.220
摘要
在大多數臨床和實驗研究中，標準偏差 (SD) 和平均值估計標準誤差 (SEM)
用於表現樣本數據的特0，徵並解釋統計分析結果。然而一些作者偶爾會混淆醫學文獻中 SD 和 SEM 之間的獨特用法。由於SD 和 SEM
的計算過程中包含不同的統計推論，它們中的每一個都有自己的含義。 SD 是數據在常態分佈中的離散度。換句話說，SD
表示以平均值代表樣本數據的準確程度。然而，SEM 的含義包括基於抽樣分佈的統計推論。 SEM 是樣本平均值的理論分佈（抽樣分佈）的 SD。雖然
SD 或 SEM 都可用於描述數據和統計結果，但應了解使用 SD 和 SEM 的合理方法。此文目的在說明 SD 和 SEM
之間的區別，並為兩者提供適當的使用指南，總結數據並描述統計結果。
當數據的值均勻地分佈在一個代表值周圍時，就稱該數據服從常態分佈。常態分佈是參數統計分析的先決條件 [1
]。常態分佈數據中的平均值表示數據值的集中趨勢。然而當試圖解釋分佈的形狀時，僅靠平均值是不夠的。因此，許多醫學文獻採用標準偏差 (SD)
和平均值的標準誤差 (SEM) 以及平均值來報告統計分析結果 [2]。
本文的目的是說明 SD 和 SEM
在常態分佈數據的描述性，和統計分析中使用的差異，並提出一個標準，可以根據該標準評估醫學文獻中的統計分析結果.
醫學研究首先建立關於母群的假設並從母群中提取樣本來檢驗假設。如果抽樣過程是通過適當的隨機化方法和足夠的樣本量進行的，則提取的樣本將呈常態分佈。與所有常態分佈的數據一樣，樣本的特徵由平均值、變異數或
SD 表示。變異數或 SD 包括觀測值與平均值的差異（圖 1）；因此，這些值表示數據 [1-3]
的變化。例如，如果觀測值在平均值周圍分散緊密，則變異數以及 SD
都會減小。但是，變異數可能會混淆數據的解釋，因為它是通過對觀察值的單位進行平方和計算得出的。因此使用與平均值相同的單位的 SD 更合適 [
3 ]（公式
1 和 2）。
樣品：x1, x2, x3 ,..., xn （樣本大小 = n）
平均值( x̄ ) = ∑xi /n
變異數= ∑ (x̄−xi )2/(n −1),
標準偏差(SD)=√變異數
Standard
deviation and standard error of the mean
Dong Kyu Lee, 1 Junyong
In,2 and Sangseok
Lee3
Korean J Anesthesiol. 2015
Jun; 68(3): 220–223.
Published
online 2015 May 28. doi: 10.4097/kjae.2015.68.3.220
摘要
在大多數臨床和實驗研究中，標準偏差 (SD) 和平均值估計標準誤差
(SEM) 用於表現樣本數據的特0，徵並解釋統計分析結果。然而一些作者偶爾會混淆醫學文獻中 SD 和 SEM 之間的獨特用法。由於SD 和
SEM 的計算過程中包含不同的統計推論，它們中的每一個都有自己的含義。 SD 是數據在常態分佈中的離散度。換句話說，SD
表示以平均值代表樣本數據的準確程度。然而，SEM 的含義包括基於抽樣分佈的統計推論。 SEM 是樣本平均值的理論分佈（抽樣分佈）的 SD。雖然
SD 或 SEM 都可用於描述數據和統計結果，但應了解使用 SD 和 SEM 的合理方法。此文目的在說明 SD 和 SEM
之間的區別，並為兩者提供適當的使用指南，總結數據並描述統計結果。
當數據的值均勻地分佈在一個代表值周圍時，就稱該數據服從常態分佈。常態分佈是參數統計分析的先決條件 [1
]。常態分佈數據中的平均值表示數據值的集中趨勢。然而當試圖解釋分佈的形狀時，僅靠平均值是不夠的。因此，許多醫學文獻採用標準偏差 (SD)
和平均值的標準誤差 (SEM) 以及平均值來報告統計分析結果 [2]。
本文的目的是說明 SD 和 SEM
在常態分佈數據的描述性，和統計分析中使用的差異，並提出一個標準，可以根據該標準評估醫學文獻中的統計分析結果.
醫學研究首先建立關於母群的假設並從母群中提取樣本來檢驗假設。如果抽樣過程是通過適當的隨機化方法和足夠的樣本量進行的，則提取的樣本將呈常態分佈。與所有常態分佈的數據一樣，樣本的特徵由平均值、變異數或
SD 表示。變異數或 SD 包括觀測值與平均值的差異（圖 1）；因此，這些值表示數據 [1-3]
的變化。例如，如果觀測值在平均值周圍分散緊密，則變異數以及 SD
都會減小。但是，變異數可能會混淆數據的解釋，因為它是通過對觀察值的單位進行平方和計算得出的。因此使用與平均值相同的單位的 SD 更合適 [
3
]（公式 1 和 2）。
樣品：x1, x2, x3 ,..., xn （樣本大小 = n）
平均值( x̄ ) = ∑xi /n
變異數= ∑ (x̄−xi
)2/(n −1),
標準偏差(SD)=√變異數
圖.1
描述數據的過程。首先，我們通過隨機化（A）從母群中收集原始數據。然後我們根據尺度（頻率分佈）排列每個值；我們可以假設分佈的形狀（概率分佈）並且可以計算平均值和標準偏差（B）。使用這些平均值和標準偏差，我們生成了一個常態分佈模型
(C)。該分佈代表了我們收集的數據的特徵，是常態分佈，可以進行統計推論（χ̅：平均值，SD：標準偏差， χi
：觀察值，n：樣本量）。
如前所述，將 SD
與平均值同時使用，可以更準確地估計常態分佈數據的變化。換句話說，可以通過檢查數據[
1
]的平均值和 SD（圖
1 ），來實現常態分佈的統計模型。在此類模型中，大約 68.7% 的觀測值位於距平均值 1 個標準偏差範圍內，大約
95.4% 的觀測值位於距平均值兩個標準偏差以內，大約 99.7% 的觀測值位於距平均值 3 個標準偏差範圍內[
1 ,
4
]。出於這個原因，大多數醫學文獻以平均值和標準偏差的形式報告他們的樣本 [
5
]。
醫學文獻中提到的樣本是一組來自母群的觀察值。必須對整個母群進行實驗才能更準確地確認假設，但基本上不可能調查整個母群。因此以適當的抽樣過程（提取代表總體母群特徵其樣本的過程）對於獲得可靠結果十分重要。為此，在研究計劃階段確定適當的樣本數量，並通過隨機化方法進行抽樣。儘管如此，提取的樣本仍然是總體母群的一部分。因此，樣本平均值是總體母群平均值的估計值。當從同一總體母群中重複隨機抽取相同樣本量的樣本時，由於樣本變異和樣本平均值，它們彼此不同（圖2，B級）。通過重複抽樣過程，實現的不同樣本平均值的分佈稱為抽樣分佈，它為常態分佈模式（圖2，C級）
[
1,6,7 ]
。因此可以計算抽樣分佈的 SD；這個值被稱為 SEM [
1 ,
6 ,
7
]。 SEM 取決於總體母群的變化和提取樣本的數量。總體母群的變化量較大會導致樣本平均值的較大差異，最終導致較大的 SEM。但是隨著從總體母群中提取更多樣本，樣本平均值會更接近總體母群平均值，從而導致
SEM 更小。簡而言之，SEM 是樣本平均值與總體母群平均值的接近程度的指標 [
7
]。然而在實際上，僅從總體母群中提取了一個樣本。因此，使用 SD 和样本大小 (Estimated SEM) 估計 SEM。由統計程序計算的
SEM ，是通過此過程計算的估計值 [
5
]。
平均值的估計標準誤差 (SEM )= SD / √n
圖 2統計推論的過程。 A
級表示母群。在大多數實驗中，我們僅使用隨機化從總體母群中獲得一組樣本數據（B
級）；平均值和標準偏差是根據我們有的樣本數據計算得出的。出於統計推論的目的，我們假設總體母群中有幾個樣本數據集（B
級）；每個樣本數據集的平均值產生抽樣分佈（C 級）。使用這種抽樣分佈，可以進行統計分析。在這種情況下，平均值或 95%
信賴區間的估計標準誤差，在統計分析過程中具有重要作用（χ̅：平均值，SD：標準偏差，n：樣本量，N：從母群取樣的樣本數據）。
設置信賴區間以直觀地說明總體母群平均值。 95%
的信賴區間是最常見的 [
3 ,
7
]。抽樣分佈的 SEM 由一個樣本估計值，信賴區間由 SEM 確定（圖
2 ，C 級）。嚴格意義上，95% 信賴區間提供了有關 95% 樣本平均值將落入的範圍的，它不見得是具有 95%
信賴度的總體母群平均值的範圍。例如，95% 的信賴區間表示當從總體母群中的 100 個樣本計算 100 個樣本平均值時，其中 95
個包含在所述信賴區間內，5 個位於信賴區間之外。換句話說，這並不代表著總體母群平均值有 95% 的概率位於95% 的信賴區間內。
在對於數據集進行統計比較時，研究人員會估計每個樣本的總體母群並檢查它們是否相同。 SEM，而不是代表樣本變化的 SD，用於估計總體母群平均值（圖2
）( 4、8、9
]
。通過這個過程，研究人員得出結論，他們研究中使用的樣本恰當地代表了預設顯著性水準 [
4 ,
6 ,
8 ]
指定的誤差範圍內的總體母群。
SEM 小於 SD，因為 SEM 通常估計為 SD
除以樣本大小的平方根。由於這個原因，研究人員在描述他們的樣本時很想使用 SEM。如果兩組的樣本量相等，則可以使用 SEM 或 SD
來比較兩個不同的數據組。但是，為了提供準確的資訊，必須說明樣本數量。例如，當一個總體母群有大量變異時，從該總體母群中提取的樣本的 SD
必須很大。但是，如果故意增加樣本量，則 SEM 會變小。在這種情況下，很容易在描述性統計中使用 SEM
來誤解總體母群。這種情況在醫學研究中很常見，因為醫學研究中的變數施加了許多可能的偏差，這些偏差源於個體間和個體內部的差異，這些差異源於患者的潛在一般狀況等。然而，在解釋
SD 和 SEM 時，應考慮 SD 和 SEM 的確切含義和目的，以提供正確的資訊。 [
3、4、6、7、10 ]
。
我們檢查了發表在《韓國麻醉學雜誌》第 6
卷第1至第6期的36項臨床或實驗研究，發現其中一些研究不恰當地使用了 SD 和 SEM。首先檢查描述性統計數據，我們發現所有研究都使用平均值和
SD 或觀察到的數量和百分比。一項研究提出了 95%
的信賴區間；這項特定的研究適當地說明了信賴區間內的樣本量，從而更清楚地了解了研究中建議的數據 [
11
]。在檢查的 36 項研究中，只有一項研究描述了常態性檢驗的結果 [
12
]。其次，所有 36 項研究都使用
SD、觀察到的數量或百分比來描述他們的統計結果。有一項研究沒有具體說明圖表中的值代表什麼（即是平均值、或是標準偏差或四分位距）。還有一項研究在文本中使用了平均值，但在圖表中顯示了四分位數範圍。
16 項研究使用觀察到的數字或百分比，其中大多數報告的結果沒有信賴區間。只有兩項研究說明了信賴區間，但這兩項研究中只有一項適當地使用了信賴區間
[
13
]。如上所示，我們發現一些研究在報告其統計結果時不恰當地使用了 SD、SEM
和信賴區間。在稿件審查和評估期間，必須仔細篩選此類不恰當使用統計數據的實例，因為它們可能會妨礙對研究數據的準確理解。
總之，SD反映了常態分佈數據的變化，而SEM代表了抽樣分佈的樣本平均值的變化。考慮到這一點，使用
SD（與常態性檢驗配對）來描述樣本的特徵是恰當的。但是，如果指定了樣本大小，則 SEM 或信賴區間可用於相同目的。 SEM
與樣本量相結合，在報告統計結果時更有用，因為它允許通過圖表或表格對估計的總體母群進行直觀的比較。
圖.1
描述數據的過程。首先，我們通過隨機化（A）從母群中收集原始數據。然後我們根據尺度（頻率分佈）排列每個值；我們可以假設分佈的形狀（概率分佈）並且可以計算平均值和標準偏差（B）。使用這些平均值和標準偏差，我們生成了一個常態分佈模型
(C)。該分佈代表了我們收集的數據的特徵，是常態分佈，可以進行統計推論（χ̅：平均值，SD：標準偏差， χi
：觀察值，n：樣本量）。
如前所述，將 SD
與平均值同時使用，可以更準確地估計常態分佈數據的變化。換句話說，可以通過檢查數據[
1
]的平均值和 SD（圖 1
），來實現常態分佈的統計模型。在此類模型中，大約 68.7% 的觀測值位於距平均值 1 個標準偏差範圍內，大約 95.4%
的觀測值位於距平均值兩個標準偏差以內，大約 99.7% 的觀測值位於距平均值 3 個標準偏差範圍內[
1 ,
4
]。出於這個原因，大多數醫學文獻以平均值和標準偏差的形式報告他們的樣本 [
5 ]。
醫學文獻中提到的樣本是一組來自母群的觀察值。必須對整個母群進行實驗才能更準確地確認假設，但基本上不可能調查整個母群。因此以適當的抽樣過程（提取代表總體母群特徵其樣本的過程）對於獲得可靠結果十分重要。為此，在研究計劃階段確定適當的樣本數量，並通過隨機化方法進行抽樣。儘管如此，提取的樣本仍然是總體母群的一部分。因此，樣本平均值是總體母群平均值的估計值。當從同一總體母群中重複隨機抽取相同樣本量的樣本時，由於樣本變異和樣本平均值，它們彼此不同（圖2，B級）。通過重複抽樣過程，實現的不同樣本平均值的分佈稱為抽樣分佈，它為常態分佈模式（圖2，C級）
[ 1,6,7 ]
。因此可以計算抽樣分佈的 SD；這個值被稱為 SEM [
1 ,
6 ,
7 ]。
SEM 取決於總體母群的變化和提取樣本的數量。總體母群的變化量較大會導致樣本平均值的較大差異，最終導致較大的 SEM。但是隨著從總體母群中提取更多樣本，樣本平均值會更接近總體母群平均值，從而導致
SEM 更小。簡而言之，SEM 是樣本平均值與總體母群平均值的接近程度的指標 [
7
]。然而在實際上，僅從總體母群中提取了一個樣本。因此，使用 SD 和样本大小 (Estimated SEM) 估計 SEM。由統計程序計算的
SEM ，是通過此過程計算的估計值 [
5 ]。
平均值的估計標準誤差 (SEM )= SD / √n
圖 2統計推論的過程。
A 級表示母群。在大多數實驗中，我們僅使用隨機化從總體母群中獲得一組樣本數據（B
級）；平均值和標準偏差是根據我們有的樣本數據計算得出的。出於統計推論的目的，我們假設總體母群中有幾個樣本數據集（B
級）；每個樣本數據集的平均值產生抽樣分佈（C 級）。使用這種抽樣分佈，可以進行統計分析。在這種情況下，平均值或 95%
信賴區間的估計標準誤差，在統計分析過程中具有重要作用（χ̅：平均值，SD：標準偏差，n：樣本量，N：從母群取樣的樣本數據）。
設置信賴區間以直觀地說明總體母群平均值。 95% 的信賴區間是最常見的 [
3 ,
7
]。抽樣分佈的 SEM 由一個樣本估計值，信賴區間由 SEM 確定（圖
2 ，C 級）。嚴格意義上，95% 信賴區間提供了有關 95% 樣本平均值將落入的範圍的，它不見得是具有 95%
信賴度的總體母群平均值的範圍。例如，95% 的信賴區間表示當從總體母群中的 100 個樣本計算 100 個樣本平均值時，其中 95
個包含在所述信賴區間內，5 個位於信賴區間之外。換句話說，這並不代表著總體母群平均值有 95% 的概率位於95% 的信賴區間內。
在對於數據集進行統計比較時，研究人員會估計每個樣本的總體母群並檢查它們是否相同。
SEM，而不是代表樣本變化的 SD，用於估計總體母群平均值（圖2
）( 4、8、9 ]
。通過這個過程，研究人員得出結論，他們研究中使用的樣本恰當地代表了預設顯著性水準 [
4 ,
6 ,
8 ]
指定的誤差範圍內的總體母群。
SEM 小於 SD，因為 SEM 通常估計為 SD
除以樣本大小的平方根。由於這個原因，研究人員在描述他們的樣本時很想使用 SEM。如果兩組的樣本量相等，則可以使用 SEM 或 SD
來比較兩個不同的數據組。但是，為了提供準確的資訊，必須說明樣本數量。例如，當一個總體母群有大量變異時，從該總體母群中提取的樣本的 SD
必須很大。但是，如果故意增加樣本量，則 SEM 會變小。在這種情況下，很容易在描述性統計中使用 SEM
來誤解總體母群。這種情況在醫學研究中很常見，因為醫學研究中的變數施加了許多可能的偏差，這些偏差源於個體間和個體內部的差異，這些差異源於患者的潛在一般狀況等。然而，在解釋
SD 和 SEM 時，應考慮 SD 和 SEM 的確切含義和目的，以提供正確的資訊。 [
3、4、6、7、10 ]
。
我們檢查了發表在《韓國麻醉學雜誌》第 6
卷第1至第6期的36項臨床或實驗研究，發現其中一些研究不恰當地使用了 SD 和 SEM。首先檢查描述性統計數據，我們發現所有研究都使用平均值和
SD 或觀察到的數量和百分比。一項研究提出了 95%
的信賴區間；這項特定的研究適當地說明了信賴區間內的樣本量，從而更清楚地了解了研究中建議的數據 [
11
]。在檢查的 36 項研究中，只有一項研究描述了常態性檢驗的結果 [
12
]。其次，所有 36 項研究都使用
SD、觀察到的數量或百分比來描述他們的統計結果。有一項研究沒有具體說明圖表中的值代表什麼（即是平均值、或是標準偏差或四分位距）。還有一項研究在文本中使用了平均值，但在圖表中顯示了四分位數範圍。
16 項研究使用觀察到的數字或百分比，其中大多數報告的結果沒有信賴區間。只有兩項研究說明了信賴區間，但這兩項研究中只有一項適當地使用了信賴區間
[ 13
]。如上所示，我們發現一些研究在報告其統計結果時不恰當地使用了 SD、SEM
和信賴區間。在稿件審查和評估期間，必須仔細篩選此類不恰當使用統計數據的實例，因為它們可能會妨礙對研究數據的準確理解。
總之，SD反映了常態分佈數據的變化，而SEM代表了抽樣分佈的樣本平均值的變化。考慮到這一點，使用
SD（與常態性檢驗配對）來描述樣本的特徵是恰當的。但是，如果指定了樣本大小，則 SEM 或信賴區間可用於相同目的。 SEM
與樣本量相結合，在報告統計結果時更有用，因為它允許通過圖表或表格對估計的總體母群進行直觀的比較。 |
