獨立性的卡方檢定

中興大學系統工程研究室  陳加忠

資料來源: Biochemia Media 2013; 23(2):143-149.

獨立性的卡方檢定又稱為Pearson卡方檢定，或是簡稱卡方檢定。在醫學研究上，卡方檢定可以用以檢定類別型數據，因此為一種有用的統計技術。卡方檢定不僅可提供任何觀察值是否顯著差異，也可得到哪項類別是歸因於此顯著差異。其檢定結果以陣列方式呈現其結果。

每一項統計檢定都有其基本假設，卡方檢定用於顯著性檢定，也有其基本假設。卡方檢定是一種非參數統計技術，在以下情況下加以採用：

1.      所有變數的量測值為類別型(nominal)或順序(ordinal)型

2.      每一研究群的標本數目不相同，一些特殊之卡方檢定其母群數據數目需要相等或是類似相等。

3.      原始數據之量測有其間隔或是比例程度，但是違反了下述的參數檢定:

a. 數據分佈為嚴重的偏斜(skew)或是峰態(kurtotic)。

b. 數據的變異量非常數。

c. 因為一些特殊原因，連續性之數據被歸類成為小族群。

一、卡方檢定之假設

非參數檢定其最基本假設為數據為隨機取樣。但是在歸納檢定中，數據也有來自便利抽樣(convinience sample)。因此對每一試驗條件，至少要有多個重覆。卡方檢定之相關假設條件為:

1.      每一檢定格子(cell)內的數據應該設為頻率或計數數目，而不是百分比或是經過轉換之數據。

2.      每一變數之類別或水準(Level)相互排除。一個變數在一個特定水準只歸於一類。

3.      每一研究對象只能歸於某一特定格子，例如一個樣本在不同的時間進行測試，三個不同時間內得到之數據就無法採用卡方檢定。

4.      研究族群必須相互獨立。例如樣本為成對(母女)，則不可使用卡方檢定，而是使用其他統計技術。

5.      通常以兩個變數加以分類。數據可為類別層次。數據也可能是順序數據。間隔或比例數據加以區隔成類別數據也可使用。卡方分析格子的數據數目未有限制，但是超過20格子則很難進行檢定與解釋。

6.      至少有80%以上的格子，其數據至少大於5。樣本數目至少要為格子數目的五倍。

二、個案研究

一家公司的經理希望其員工都能維持健康，病假人數愈低愈好。肺炎在此地區十分普遍，導至員工病假。目前有疫苗可以對付球菌肺炎，經理相信疫苗可以使得員工免於患病。但是疫苗數量有限，只有半數之員工有機會接受疫苗。因此員工分成兩群:接種疫苗與未接種疫苗。公司對每一員工進行檢查，是否有感染肺炎。其調查數據如下:

第一群:接種疫苗(N₁=92)

第二群:未接種疫苗(N₂=93)

員工之檢查結果有三型:

1.感染球菌肺炎型之肺炎  2.感染其他型肺炎  3.無感染

此公司開始探討接種疫苗是否對於肺炎此病害有否效果。卡方檢定被採用以回答此問題。疫苗之預防結果如表一。

三、卡方值計算

卡方值之計算公式:

O為觀察次數，E為期望次數

χ²:每一格子之卡方數

:所有格子卡方值之總值

:代表自i格子至j格子的總和

每行與每列之總值為邊際值 (marginal)。表一重新整理如表二。

(二)卡方檢定的第二個步驟是計算每一格子之期望值。期望值代表無疫苗的影響時，每一格子之估計值，期望值的計算公式:

M_R:行邊際值之格子

M_C:列邊際值之格子

n:所有樣本數

(三)卡方檢定第三個步驟是計算χ²值。，以表三代表每一格子之期望值與平均值。

每一格子的卡方值完成計算之後，即可總計χ²統計量。

此個案之χ²值為12.36(5.82+0.1+0.95+4.56+0.1+0.73)

χ²表之自由度其計算公式:

此個案中自由度為(2-1)(3-1)=2。查卡方表，卡方值12.35。自由度2時，其P值小於0.005，由精密計算之結果。P=0.0011：由於P值小於0.05，此研究之結果如下；拒絕H₀，接受H₁。

對於有接種疫苗與沒有接種疫苗之兩群，其肺炎之發生有顯著之不同。但是不同點在哪裡，需要進一步的解釋。

四、格子的χ²值之解釋

由表三可知，最大χ²值5.92發生於格子1。因為實際發生值為23。預期值為13.2。此格子之數據代表觀察結果顯著大於機率發生之數值。格子1代表非接種疫苗之員工其得到肺炎的人數遠大於預期值。第二大的χ²值為4.56，出現在格子2。代表觀察之數值(5)遠低於預期值(12.53)。有接種的員工其感染之人數遠低於預期人數。其它格子的卡方值都小於0.99。一個格子內之卡方值小於1.0，代表觀察得到的數值幾乎接近於預期值。因此對於非球菌之肺炎之患者獲健康無感染者，疫苗接種對其無顯著影響。

五、卡方與其相關檢定

類別型數據需要採用非參數統計，常用的方法有3種。第一種也是最常用的方法是卡方分析。第二種為Fisher’s exact test。此方法比卡方分析更精確，但是只能使用於之表格。第三種方法稱為最大近似比例卡方檢定(maximum likelihood ratio Chi-square test)。主要使用於樣本數太小的情況。

以之表為例，共有6個格子，卡方檢定要求80%之格子其樣本數大於5。。由表一得知，每一格子(cell)內數據都大於5，因此可執行卡方檢定。

以表四說明小樣本數目之檢定。

雖然樣本數目39已超過基本要求()，但是有4個格子其樣本數目十分小，以違背卡方分析之假設，因此必須使用最大近似比例卡方分析。

如果卡方檢定之基本假設已被違背，其檢定結果則不可靠。以卡方檢定面對適當或不適當使用之數據，其結果有三類，

1.          適當或不適當的檢定都得到相同結論

2.          適當檢定為顯著差異，不適當檢定得到無顯著差異，因此為第Ⅱ型錯誤。

3.          適當之檢定為無顯著差異，不適當檢定為有顯著差異，因此為第Ⅰ型錯誤。

六、卡方檢定之強度

以上述個案為例，P=0.0011，代表千分之1.1的機率代表有接種疫苗與無接種疫苗有千分之1.1之機會，兩者無差異。如果判別為差異，則可能得到第一型錯誤。因此進行卡方檢定也要測定此統計方法的強度(strength)。

統計顯著不見得代表臨床醫療的顯著。臨床顯著代表此處理有多大的改善。例如統計檢定之結果為顯著，但是肺炎感染之人數只有降低兩人，公司為了184名員工接種，比不接種處理只有減少兩名感染人數，在醫療成本上為不合乎經濟效益。

對於卡方檢定而言，最常使用的強度檢定稱為Cramer’s V test。其計算公式如下:

N為樣本數，k為行或列數目。

以此個案為例

=0.259

相關性為0.259，代表弱相關。

在上述個案中，有5個接種疫苗之員工感染球菌肺炎，大多數其他員工仍然健康，因此其相關性度不高，因此有顯著性。此強度檢定方法可用以解釋統計之結果。

七、結論

卡方檢定是一種高價值之工具，針對類別型數據進行檢定。在數據為隨機取樣，樣本數目又是足夠大，卡方檢定之能力十分適當。在數據之差異數不是常數，t檢定與ANOVA檢定無法適用，卡方分配可用以檢定。卡方值與Cramer’s V值都容易計算。除了卡方分配，還有許多非參數檢定方法，都值得留意。